จำนวนเชิงซ้อน

ธันวาคม 28, 2560

จำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน  ซึ่งทำให้สมการ  เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่น ๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน  ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป  โดยที่  และ  เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก  และ  ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ  ตามลำดับ
เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์  จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใด ๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต
นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อนแก้ไข

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน {\displaystyle \mathbb {C} } ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ {\displaystyle (a,b)} ทั้งหมดโดยที่ {\displaystyle a} และ {\displaystyle b} เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ {\displaystyle +} (การบวก) และ {\displaystyle \cdot } (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้
ให้ {\displaystyle (a,b)} และ {\displaystyle (c,d)} เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ
{\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,}
{\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)\,}
เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง
เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ
  • การบวกและการคูณมีสมบัติการปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
  • มีเอกลักษณ์การบวกคือ {\displaystyle (0,0)}
  • มีเอกลักษณ์การคูณคือ {\displaystyle (1,0)}
  • อินเวอร์สการบวกของ {\displaystyle z=(a,b)} (เขียนแทนด้วย {\displaystyle -z}) คือ (-a, -b)
  • ถ้าหาก {\displaystyle z=(a,b)\neq (0,0)} อินเวอร์สการคูณของ {\displaystyle z} (เขียนแทนด้วย {\displaystyle z^{-1}}) คือ {\displaystyle \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}\right)}

จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติมแก้ไข

อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้
{\displaystyle c(a,b)=(ca,cb)=(a,b)c\,} เมื่อ c เป็นจำนวนจริงและ {\displaystyle (a,b)} เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ
ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ {\displaystyle (1,0)} และ {\displaystyle (0,1)} กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:
{\displaystyle (a,b)=a(1,0)+b(0,1)\,}
ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ {\displaystyle (a,0)=a(1,0)} ว่าเป็นจำนวนจริง {\displaystyle a} (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ {\displaystyle i} แทน {\displaystyle (0,1)}จำนวนเชิงซ้อน {\displaystyle (a,b)} จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า {\displaystyle a+bi} ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ
จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า {\displaystyle i^{2}=(-1,0)=-1} นั่นคือ {\displaystyle i} เป็นคำตอบของสมการ {\displaystyle x^{2}+1=0} ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อน
จึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม {\displaystyle x^{2}+1} อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร(quotient ring) ของริงพหุนาม {\displaystyle \mathbb {R} [x]} กับไอดีล {\displaystyle (x^{2}+1)} เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อนแก้ไข

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน {\displaystyle \mathbb {C} } ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ {\displaystyle (a,b)} ทั้งหมดโดยที่ {\displaystyle a} และ {\displaystyle b} เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ {\displaystyle +} (การบวก) และ {\displaystyle \cdot } (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้
ให้ {\displaystyle (a,b)} และ {\displaystyle (c,d)} เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ
{\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,}
{\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)\,}
เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง
เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ
  • การบวกและการคูณมีสมบัติการปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
  • มีเอกลักษณ์การบวกคือ {\displaystyle (0,0)}
  • มีเอกลักษณ์การคูณคือ {\displaystyle (1,0)}
  • อินเวอร์สการบวกของ {\displaystyle z=(a,b)} (เขียนแทนด้วย {\displaystyle -z}) คือ (-a, -b)
  • ถ้าหาก {\displaystyle z=(a,b)\neq (0,0)} อินเวอร์สการคูณของ {\displaystyle z} (เขียนแทนด้วย {\displaystyle z^{-1}}) คือ {\displaystyle \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}\right)}

จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติมแก้ไข

อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้
{\displaystyle c(a,b)=(ca,cb)=(a,b)c\,} เมื่อ c เป็นจำนวนจริงและ {\displaystyle (a,b)} เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ
ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ {\displaystyle (1,0)} และ {\displaystyle (0,1)} 
กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:
{\displaystyle (a,b)=a(1,0)+b(0,1)\,}
ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ {\displaystyle (a,0)=a(1,0)} ว่าเป็นจำนวนจริง {\displaystyle a} (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ {\displaystyle i} แทน {\displaystyle (0,1)}จำนวนเชิงซ้อน {\displaystyle (a,b)} จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า {\displaystyle a+bi} ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ
จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า {\displaystyle i^{2}=(-1,0)=-1} นั่นคือ {\displaystyle i} เป็นคำตอบของสมการ {\displaystyle x^{2}+1=0} ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม {\displaystyle x^{2}+1} อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร(quotient ring) ของริงพหุนาม {\displaystyle \mathbb {R} [x]} กับไอดีล {\displaystyle (x^{2}+1)} 

Share This Story

Tags:

You Might Also Like

0 ความคิดเห็น

สนุกกันได้ที่

Flickr Images