จำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน 
ซึ่งทำให้สมการ 
เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่น ๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน 
ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป 
โดยที่ 
และ 
เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก และ ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ ตามลำดับ
ซึ่งทำให้สมการ เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่น ๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป โดยที่ และ เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก และ ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ ตามลำดับ
เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ 
จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใด ๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต
จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใด ๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต
นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น
ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อนแก้ไข
ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ 
ทั้งหมดโดยที่ 
และ 
เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ 
(การบวก) และ 
(การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้
ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ ทั้งหมดโดยที่ และ เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ (การบวก) และ (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้
ให้ และ 
เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ
และ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ
เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง
เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ
- การบวกและการคูณมีสมบัติการปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
- มีเอกลักษณ์การบวกคือ
- มีเอกลักษณ์การคูณคือ
- อินเวอร์สการบวกของ
(เขียนแทนด้วย
) คือ (-a, -b)
- ถ้าหาก
อินเวอร์สการคูณของ
) คือ
จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติมแก้ไข
อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้
เมื่อ
เป็นจำนวนจริงและ
ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ 
และ 
กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:
และ กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:
ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ 
ว่าเป็นจำนวนจริง (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ แทน จำนวนเชิงซ้อน จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า 
ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ
ว่าเป็นจำนวนจริง (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ แทน จำนวนเชิงซ้อน จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ
จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า 
นั่นคือ เป็นคำตอบของสมการ 
ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อน
จึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม
อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร(quotient ring) ของริงพหุนาม ![{\displaystyle \mathbb {R} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/453d1013f9dd290be70d5fe534e0d3311b0a7c6a)
กับไอดีล 
เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า
นั่นคือ เป็นคำตอบของสมการ ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม
อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร(quotient ring) ของริงพหุนาม กับไอดีล เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่าฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อนแก้ไข
ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ ทั้งหมดโดยที่ และ เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ (การบวก) และ (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้
ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ ทั้งหมดโดยที่ และ เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ (การบวก) และ (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้
ให้ และ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ
และ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ
เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง
เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ
- การบวกและการคูณมีสมบัติการปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
- มีเอกลักษณ์การบวกคือ
- มีเอกลักษณ์การคูณคือ
- อินเวอร์สการบวกของ
- ถ้าหาก
จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติมแก้ไข
อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้
กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:
ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ ว่าเป็นจำนวนจริง (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ แทน จำนวนเชิงซ้อน จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ
ว่าเป็นจำนวนจริง (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ แทน จำนวนเชิงซ้อน จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ
จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า นั่นคือ เป็นคำตอบของสมการ ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร(quotient ring) ของริงพหุนาม กับไอดีล
นั่นคือ เป็นคำตอบของสมการ ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร(quotient ring) ของริงพหุนาม กับไอดีล