ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

พฤษภาคม 29, 2560

ฟังก์ชันนั้นมีอยู่หลายรูปแบบ แต่ละแบบก็มีการตั้งชื่อไม่เหมือนกัน ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลก็เป็นอีกรูปแบบหนึ่งของฟังก์ชันซึ่งเราจะไปดูว่าฟังก์ชันเอกซ์โพนเนนเชียลนั้นมีรูปแบบอย่างไร ก็ต้องไปดูนิยามของมันครับ ว่านิยามของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลนั้นเป็นอย่างไร

นิยาม ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลคือ ฟังก์ชัน

f = {(x, y) \in R \times R ∣ y = a^{x}, a > 0, a \neq 1}

จากบทนิยามของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันนี้มีรูปแบบในรูปของเลขยกกำลัง โดยฐานของมันต้องมากกว่า 0 และฐานต้องไม่เป็น 1 ตัวอย่างของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเช่น

y = 10^{x}

y = {(\frac{1}{5})}^{x}

y = (\sin 30^{\circ})^{x}

y = (\sqrt{2})^{x}

ตัวอย่างข้างต้นเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลครับ ซึ่งมีมากมายครับ นี่เป็นแค่ส่วนหนี่งเท่านั้นครับ

ต่อไปเราลองมาพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน

y = 3^{x}

การที่เราจะเขียนกราฟได้เราต้องกำหนดค่า x ขึ้นมาก่อน แล้วหาค่า y ครับ ดังนี้

ถ้า

x = - 2

จะได้

จาก

y = 3^{x}

แทน x ด้วย -2 ได้ว่า

y = 3^{- 2}

y = \frac{1}{3^{2}}

y = \frac{1}{9}

นั่นคือ ถ้า

x = - 2

ได้ว่า

y = \frac{1}{9}

ถ้า

x = - 1

จะได้

จาก

y = 3^{x}

แทน x ด้วย -1 ได้ว่า

y = 3^{- 1}

y = \frac{1}{3^{1}}

y = \frac{1}{3}

นั่นคือ ถ้า

x = - 1

ได้ว่า

y = \frac{1}{3}

ถ้า

x = 0

จะได้

จาก

y = 3^{x}

แทน x ด้วย 0 ได้ว่า

y = 3^{0}

y = 1

นั่นคือ ถ้า

x = 0

ได้ว่า

y = 1

ถ้า

x = 1

จะได้

จาก

y = 3^{x}

แทน x ด้วย 1 ได้ว่า

y = 3^{1}

y = 3

นั่นคือ ถ้า

x = 1

ได้ว่า

y = 3

ถ้า

x = 2

จะได้

จาก

y = 3^{x}

แทน x ด้วย 2 ได้ว่า

y = 3^{2}

y = 9

นั่นคือ ถ้า

x = 2

ได้ว่า

y = 9

นำค่า x และค่า y ที่ได้มาเขียนลงในตารางเพื่่อเตรียนการพลอตกราฟขึ้นมาครับ

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$

จากตารางจะได้คู่อันดับ

(- 2, \frac{1}{9}), (- 1, \frac{1}{3}), (0, 1), (1, 3), (2, 9)

นำคู่อันดับไปพลอตกราฟครับ ก็จะได้กราฟดังนี้ครับ

เส้นกราฟจะไม่เตะแกน x น่ะครับแต่จะเข้าใกล้แกน x เรื่อยๆ เมื่อค่าของ x ลดลงครับ

ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน

y = {(\frac{1}{4})}^{x}

ถ้าให้

x = - 2

จะได้ค่า y คือ

y = {(\frac{1}{4})}^{- 2}

y = \frac{(1)^{- 2}}{(4)^{- 2}} = 4^{2} = 16

นั้นคือ ถ้าให้

x = - 2

ได้

y = 16

ถ้าให้

x = - 1

จะได้ค่า y คือ

y = {(\frac{1}{4})}^{- 1}

y = \frac{(1)^{- 1}}{(4)^{- 1}} = 4

นั่นคือ ถ้าให้

x = - 1

จะได้

y = 4

ถ้าให้

x = 0

จะได้ค่า y คือ

y = {(\frac{1}{4})}^{0} = 1

จำนวนจริงใดๆ ยกเว้นศูนย์ยกกำลังศูนย์เท่ากับ 1

นั้นคือ ถ้าให้

x = 0

จะได้

y = 1

ถ้าให้

x = 1

จะได้ค่า y คือ

y = {(\frac{1}{4})}^{1} = \frac{1}{4}

นั่นคือ ถ้าให้

x = 1

จะได้

y = \frac{1}{4}

ถ้าให้

x = 2

จะได้ค่า y คือ

y = {(\frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{16}

นั้นคือ ถ้าให้

x = 2

จะได้

y = \frac{1}{16}

จากนั้นนำค่า x และ y ที่ได้มาเขียนลงในตารางคับ จะได้

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$16$	$4$	$1$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$

นำคู่อันดับในตารางเป็นพลอตกราฟ ก็จะได้กราฟดังรูปข้างล่างครับ

กราฟจะไม่เตะแกน x น่ะคับ แต่จะเข้าใกล้แกน x เรื่อยๆคับ

จากตัวอย่าง 2 ข้อที่ผมได้ยกตัวอย่างให้ดูนั้น จะเห็นได้ว่า

ตัวอย่างที่ 1 ตารางของค่า x และ y เมื่อ ค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y ก็จะเพิ่มขึ้นตามไปด้วย และเมื่อค่า x ลดลง ค่า y ก็จะลดลงด้วย เรียก ฟังก์ชันในลักษณะนี้ว่า "ฟังก์ชันเพิ่ม"

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$

ตัวอย่างที่ 2 ตารางของค่า x และ y เมื่อค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y จะลดลง และเมื่อค่า x ลดลง ค่า y จะเพิ่มขึ้น

เรียก ฟังก์ชันในลักษณะนี้ว่า "ฟังก์ชันลด"

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$16$	$4$	$1$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$

ที่นี้มาดูหลักในการพิจารณาว่าฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลใด เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และ ฟังก์ชันเอ็กซ์ชันโพเนนเชียลใดเป็น ฟังก์ชันลด

ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลมีรูปแบบทั่วไปคือ

y = a^{x}

ถ้า ค่า

a > 1

ฟังก์ชันนั้นเป็น ฟังก์ชันเพิ่ม ตัวอย่างเช่น

y = 5^{x}

, a = 5

ซึ่งค่า a มากกว่า 1 ดังนั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่ม

y = 4^{2 x} = (4^{2})^{x} = 16^{x}

, a = 16

ซึ่งค่า a มากกว่า 1 ดังนั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่มคับ

แต่ถ้า ค่าของ

0 < a < 1

ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันลดคับ ยกตัวอย่างเช่น

y = {(\frac{1}{2})}^{x}

, a = \frac{1}{2}

ซึ่ง a มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 ดังนั้นฟังชันนี้เป็นฟังก์ชันลดคับ

y = 3^{- x} = {(\frac{1}{3})}^{x}

, a = \frac{1}{3}

ซึ่งค่า a มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 ดังนั้นฟังก์นี้เป็นฟังก์ชันลดคับ

Pages

คณิตศาสตร์พาเพลิน ม.5

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

0 ความคิดเห็น

About me

Unordered List

Tags

Blog Archive

สนุกกันได้ที่

Flickr Images

Pages

คณิตศาสตร์พาเพลิน ม.5

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

Share This Story

You Might Also Like

0 ความคิดเห็น

About me

Unordered List

Tags

Blog Archive

สนุกกันได้ที่

Flickr Images